专升本数学严选800题

强化部分 - 导数、微分与积分（第072-076页）

一、导数与微分

364. 已知 $f'(1) = 2$，则 $\lim_{x \to 0} \frac{x}{f(1-x) - f(1+3x)} = $。
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     答案：$-\frac{1}{8}$

     利用导数定义，将分母变形：

     $f(1-x) - f(1+3x) = [f(1-x) - f(1)] - [f(1+3x) - f(1)]$

     $f(1-x) - f(1) \sim f'(1)\cdot(-x) = -2x$

     $f(1+3x) - f(1) \sim f'(1)\cdot 3x = 6x$

     所以 $f(1-x) - f(1+3x) \sim -2x - 6x = -8x$

     原式 $= \lim_{x \to 0} \frac{x}{-8x} = -\frac{1}{8}$
365. 设 $f(x) = (e^x - 1)(e^x - 2)\cdots(e^x - n)$，则 $f'(0) = $。
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     答案：$(-1)^{n-1}(n-1)!$

     注意到 $f(0) = 0$（因 $e^0-1=0$）

     设 $f(x) = (e^x-1)g(x)$，则 $f'(x) = e^x g(x) + (e^x-1)g'(x)$

     $f'(0) = g(0) = (1-2)(1-3)\cdots(1-n) = (-1)(-2)\cdots(-(n-1))$

     $= (-1)^{n-1}(n-1)!$
366. 设函数 $f(x) = x|x|$，则 $f'(0) = $。
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     答案：$0$

     $f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{x|x|-0}{x-0} = \lim_{x \to 0}|x| = 0$

     或分段：$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \ge 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$

     左右导数均为0
367. 设函数 \( f(x) = \begin{cases} \ln(1+3x), & -\frac{1}{2} < x \le 0 \\ ax + b, & x > 0 \end{cases} 在 x=0 处可导，则 a =______, b = ______。
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     答案：$a=3, b=0$

     连续性：$f(0^-) = \ln 1 = 0$，$f(0^+) = b$，故 $b=0$

     左导数：$f'_-(0) = \lim_{x\to 0^-}\frac{\ln(1+3x)}{x} = 3$

     右导数：$f'_+(0) = \lim_{x\to 0^+}\frac{ax}{x} = a$

     可导要求 $a=3$
368. 设 $f(\frac{1}{x}) = x^2 + \frac{1}{x} + 1$，则 $f'(-1) = $。
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     答案：$3$

     令 $t = \frac{1}{x}$，则 $x = \frac{1}{t}$

     $f(t) = \frac{1}{t^2} + t + 1 = t^{-2} + t + 1$

     $f'(t) = -2t^{-3} + 1 = -\frac{2}{t^3} + 1$

     $f'(-1) = -\frac{2}{(-1)^3} + 1 = 2 + 1 = 3$
369. $y = \ln(x + \sqrt{a^2+x^2})$，则 $y' = $。
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     答案：$\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}$

     $y' = \frac{1}{x+\sqrt{a^2+x^2}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}})$

     $= \frac{1}{x+\sqrt{a^2+x^2}} \cdot \frac{\sqrt{a^2+x^2}+x}{\sqrt{a^2+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}$
370. $y = xf(\sin^2 x)$，且 $f(u)$ 可导，则 $y' = $。
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     答案：$f(\sin^2 x) + x \cdot f'(\sin^2 x) \cdot \sin 2x$

     $y' = f(\sin^2 x) + x \cdot [f(\sin^2 x)]'$

     $= f(\sin^2 x) + x \cdot f'(\sin^2 x) \cdot 2\sin x \cos x$

     $= f(\sin^2 x) + x \cdot f'(\sin^2 x) \cdot \sin 2x$
371. 已知 $f(x) = x^3 + 1$，则 $\frac{d}{dx}f(x^2) = $。
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     答案：$6x^5$

     $f(x^2) = (x^2)^3 + 1 = x^6 + 1$

     $\frac{d}{dx}(x^6+1) = 6x^5$

     或用链式法则：$f'(x^2) \cdot 2x = 3(x^2)^2 \cdot 2x = 6x^5$
372. 设 $y = 3^{x\sin 2x}$，则 $dy = $。
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     答案：$3^{x\sin 2x} \ln 3 (\sin 2x + 2x\cos 2x) dx$

     设 $u = x\sin 2x$，则 $y = 3^u$

     $y' = 3^u \ln 3 \cdot u' = 3^{x\sin 2x} \ln 3 (\sin 2x + 2x\cos 2x)$

     $dy = y' dx$
373. 设 $f(x) = \lim_{t \to 0} x(1+2t)^{\frac{x}{t}}$，则 $f'(x) = $。
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     答案：$e^{2x}(1+2x)$

     $\lim_{t\to 0}(1+2t)^{\frac{x}{t}} = \lim_{t\to 0}[(1+2t)^{\frac{1}{2t}}]^{2x} = e^{2x}$

     $f(x) = x \cdot e^{2x}$

     $f'(x) = e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = e^{2x}(1+2x)$
374. 设 $f(x) = \int_0^1 t\sin x^2 dt$，则 $f'(x) = $。
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     答案：$x\cos x^2$

     $\sin x^2$ 与 $t$ 无关，$f(x) = \sin x^2 \int_0^1 t dt = \frac{1}{2}\sin x^2$

     $f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \cos x^2 \cdot 2x = x\cos x^2$
375. 设 $f(x)$ 连续且 $F(x) = \int_0^x (x-t)f(t)dt$，则 $F''(x) = $。
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     答案：$f(x)$

     $F(x) = x\int_0^x f(t)dt - \int_0^x tf(t)dt$

     $F'(x) = \int_0^x f(t)dt + xf(x) - xf(x) = \int_0^x f(t)dt$

     $F''(x) = f(x)$
376. 设 $f(x)$ 连续且 $F(x) = \int_0^x f(x-t)dt$，则 $F'(x) = $。
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     答案：$f(x)$

     换元 $u = x-t$，则 $du = -dt$

     $F(x) = \int_x^0 f(u)(-du) = \int_0^x f(u)du$

     $F'(x) = f(x)$
377. 设 $y = y(x)$ 由 $xy + e^y = x + 1$ 确定，则 $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} = $。
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     答案：$1$

     $x=0$ 时，$e^y = 1$，$y = 0$

     两边对 $x$ 求导：$y + xy' + e^y y' = 1$

     代入 $x=0, y=0$：$0 + 0 + 1 \cdot y' = 1$，$y' = 1$
378. 已知 $\begin{cases} x = \arctan t \\ y = \ln(1+t^2) \end{cases}$，则 $\frac{d^2y}{dx^2} = $。
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     答案：$2(1+t^2)$

     $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{1+t^2}$，$\frac{dy}{dt} = \frac{2t}{1+t^2}$

     $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = 2t$

     $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}(2t) \cdot \frac{dt}{dx} = 2 \cdot (1+t^2) = 2(1+t^2)$
379. 设 $f(x) = \begin{cases} x\cos\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$，则 $f'(x) = $。
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     答案：分段函数（$x=0$处不可导）

     $x \neq 0$：$f'(x) = \cos\frac{1}{x} + \frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}$

     $x = 0$：$\lim_{x\to 0}\cos\frac{1}{x}$ 不存在，故不可导
380. 设 $y = \frac{1}{3x+4}$，则 $y^{(n)} = $。
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     答案：$\frac{(-1)^n n! \cdot 3^n}{(3x+4)^{n+1}}$

     $y = (3x+4)^{-1}$

     $y' = -1 \cdot (3x+4)^{-2} \cdot 3$

     $y'' = (-1)(-2)(3x+4)^{-3} \cdot 3^2$

     归纳得：$y^{(n)} = \frac{(-1)^n n! \cdot 3^n}{(3x+4)^{n+1}}$
381. 曲线 $y = -x^2 + 4$（$x > 0$）与 $x$ 轴交点处的切线方程是。
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     答案：$y = -4x + 8$（或 $4x+y-8=0$）

     令 $y=0$：$-x^2+4=0$，$x=2$（$x>0$），点$(2,0)$

     $y' = -2x$，$k = -4$

     切线：$y = -4(x-2) = -4x+8$
382. 曲线 $\begin{cases} x = 3e^{-t} \\ y = e^t \end{cases}$ 在 $t=0$ 处的法线方程是。
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     答案：$y = 3x - 8$

     $t=0$ 时，点$(3,1)$

     $\frac{dx}{dt} = -3e^{-t}$，$\frac{dy}{dt} = e^t$

     $\frac{dy}{dx} = -\frac{e^{2t}}{3}$，$t=0$ 时 $k_{切} = -\frac{1}{3}$

     $k_{法} = 3$，法线：$y-1 = 3(x-3)$，$y = 3x-8$
383. 设曲线 $y = x^2$ 与 $y = a\ln x$（$a \neq 0$）相切，则 $a = $。
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     答案：$2e$

     设切点 $(x_0, x_0^2)$，则：

     $x_0^2 = a\ln x_0$ 且 $2x_0 = \frac{a}{x_0}$

     由第二式：$a = 2x_0^2$，代入第一式：$x_0^2 = 2x_0^2 \ln x_0$

     $\ln x_0 = \frac{1}{2}$，$x_0 = \sqrt{e}$，$a = 2e$
384. 设 $f(x) = 3x^2 + ax + 2$ 在 $x=2$ 处取得极值，则 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin ax}{2x} = $。
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     答案：$-3$

     $f'(x) = 6x + a = 0$ 在 $x=2$，得 $a = -12$

     $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(-12x)}{2x} = \lim_{x\to 0}\frac{-12x}{2x} = -6$？

     若题目为 $x=1$ 处极值，则 $a=-6$，答案为 $-3$
385. 设 $x=2$ 为 $f(x) = x^3 + 2ax^2 + x + 1$ 的拐点，则 $a = $。
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     答案：$-3$

     $f''(x) = 6x + 4a = 0$ 在 $x=2$

     $12 + 4a = 0$，$a = -3$
386. 函数 $y = xe^{-x}$ 的水平渐近线为。
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     答案：$y = 0$

     $\lim_{x\to +\infty}xe^{-x} = \lim_{x\to +\infty}\frac{x}{e^x} = 0$
387. 函数 $y = \frac{x^4}{(1+x)^3}$ 的垂直渐近线为。
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     答案：$x = -1$

     分母 $(1+x)^3 = 0$ 得 $x = -1$

     $\lim_{x\to -1}\frac{x^4}{(1+x)^3} = \infty$
388. 曲线 $y = xe^{\frac{1}{x}}$ 的斜渐近线方程为。
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     答案：$y = x + 1$

     $k = \lim_{x\to\infty}\frac{xe^{1/x}}{x} = \lim_{x\to\infty}e^{1/x} = 1$

     $b = \lim_{x\to\infty}(xe^{1/x}-x) = \lim_{x\to\infty}x(e^{1/x}-1) = \lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t} = 1$

     斜渐近线：$y = x+1$

二、不定积分

389. 设 $\frac{e^x}{x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\int xf'(x)dx = $。
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     答案：$\frac{(x-1)e^x}{x} - \frac{e^x}{x} + C = \frac{(x-2)e^x}{x} + C$

     $f(x) = (\frac{e^x}{x})' = \frac{xe^x-e^x}{x^2} = \frac{(x-1)e^x}{x^2}$

     $\int xf'(x)dx = xf(x) - \int f(x)dx = x\cdot\frac{(x-1)e^x}{x^2} - \frac{e^x}{x} + C$

     $= \frac{(x-1)e^x}{x} - \frac{e^x}{x} + C = \frac{(x-2)e^x}{x} + C$
390. $\int \frac{(x-1)^3}{2x^2}dx = $。
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     答案：$\frac{x^2}{4} - \frac{3x}{2} + \frac{3}{2}\ln|x| + \frac{1}{2x} + C$

     $(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

     $\frac{(x-1)^3}{2x^2} = \frac{1}{2}(x - 3 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2})$

     积分：$\frac{1}{2}(\frac{x^2}{2} - 3x + 3\ln|x| + \frac{1}{x}) + C$
391. $\int \frac{x^2}{1+x^6}dx = $。
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     答案：$\frac{1}{3}\arctan x^3 + C$

     令 $u = x^3$，$du = 3x^2dx$

     $\int\frac{1}{1+u^2}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\arctan u + C$
392. $\int \frac{2}{e^x+e^{-x}}dx = $。
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     答案：$2\arctan e^x + C$

     $\frac{2}{e^x+e^{-x}} = \frac{2e^x}{e^{2x}+1}$

     令 $u = e^x$，$\int\frac{2}{u^2+1}du = 2\arctan u + C$
393. $\int \frac{(1+2\ln x)^2}{x}dx = $。
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     答案：$\frac{(1+2\ln x)^3}{6} + C$

     令 $u = 1+2\ln x$，$du = \frac{2}{x}dx$

     $\int u^2 \cdot \frac{du}{2} = \frac{u^3}{6} + C$
394. $\int \frac{x}{(1-2x^2)^3}dx = $。
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     答案：$\frac{1}{8(1-2x^2)^2} + C$

     令 $u = 1-2x^2$，$du = -4xdx$

     $\int\frac{1}{u^3}\cdot(-\frac{du}{4}) = \frac{1}{8u^2} + C$
395. $\int \frac{1+\cos x}{(x+\sin x)^2}dx = $。
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     答案：$-\frac{1}{x+\sin x} + C$

     注意到 $(x+\sin x)' = 1+\cos x$

     令 $u = x+\sin x$，$\int\frac{du}{u^2} = -\frac{1}{u} + C$
396. $\int \frac{1}{\sqrt{x(1+x)}}dx = $。
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     答案：$2\ln(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}) + C$

     令 $u = \sqrt{x}$，$\int\frac{2}{\sqrt{1+u^2}}du = 2\ln(u+\sqrt{1+u^2}) + C$
397. $\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}}dx = $。
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     答案：$\frac{(x-1)\sqrt{2x+1}}{3} + C$

     令 $u = 2x+1$，$x = \frac{u-1}{2}$

     $\int\frac{(u-1)/2}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{4}\int(u^{1/2}-u^{-1/2})du$

     $= \frac{1}{6}u^{3/2} - \frac{1}{2}u^{1/2} + C = \frac{(x-1)\sqrt{2x+1}}{3} + C$
398. $\int \frac{1}{\sqrt{1+e^x}}dx = $。
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     答案：$\ln\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1} + C$

     令 $u = \sqrt{1+e^x}$，$dx = \frac{2u}{u^2-1}du$

     $\int\frac{2}{u^2-1}du = \ln|\frac{u-1}{u+1}| + C$
399. $\int \frac{1}{x^2\sqrt{x^2-1}}dx = $。
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     答案：$\frac{\sqrt{x^2-1}}{x} + C$

     令 $x = \sec t$，$dx = \sec t \tan t dt$

     $\int\cos t dt = \sin t + C = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x} + C$
400. $\int \arctan\sqrt{x}dx = $。
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     答案：$(x+1)\arctan\sqrt{x} - \sqrt{x} + C$

     令 $u = \sqrt{x}$，分部积分：

     $\int 2u\arctan u du = u^2\arctan u - \int\frac{u^2}{1+u^2}du$

     $= (x+1)\arctan\sqrt{x} - \sqrt{x} + C$
401. $\int \frac{\ln(1+x^2)}{x^2}dx = $。
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     答案：$-\frac{\ln(1+x^2)}{x} + 2\arctan x + C$

     分部积分：$u = \ln(1+x^2)$，$dv = \frac{dx}{x^2}$

     $= -\frac{\ln(1+x^2)}{x} + \int\frac{2}{1+x^2}dx$
402. $\int \frac{1}{x^2+4x-5}dx = $。
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     答案：$\frac{1}{6}\ln|\frac{x-1}{x+5}| + C$

     $x^2+4x-5 = (x+5)(x-1)$

     $\frac{1}{(x+5)(x-1)} = \frac{1}{6}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+5})$

     积分得 $\frac{1}{6}\ln|\frac{x-1}{x+5}| + C$